Topologie, 3st VO, WS 2014/15, Mo,Di am fruehen Nachmittag, Vortragender G. Propst, KFU

Die Topologie ist die Theorie topologischer Raeume, das sind Strukturen, zwischen denen stetige Abbildungen definierbar sind.

Als Verallgemeinerung der Geometrie mit starren Bewegungen sind zwei geometrische Objekte topologisch aequivalent, wenn es bijektive stetige Abbildungen gibt, die sie ineinander ueberfuehren.

Eine grosse Klasse topologischer Raeume sind die metrischen Raeume der Analysis. Es besteht allerdings Bedarf, nicht metrisierbare topologische Raeume zu definieren (etwa den Raum der Testfunktionen fuer Distributionen oder die schwachen Topologien der Funktionalanalysis). Dies ist Gegenstand der mengentheoretischen Topolgie.

Die algebraische Topologie assoziiert Gruppen mit topologischen Raeumen, um diese zu klassifizieren.

Abstrakte topologische Konzepte spielen also in unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik eine grundlegende Rolle. Diese Konzepte werden eingefuehrt und erlaeutert, mit Betonung auf mengentheoretischer Topologie (Konvergenz, Kompaktheit, Zusammenhang, Trennungseigenschaften).

Auf Wunsch wird in Englisch vorgetragen. Als Grundlage dienen Abschnitte aus "A Taste of Topology" von V. Runde.
Ergänzungen (werden nicht geprüft):

• Elementare geometrische Topologie (Arnold)

• Lokal konvexe Raeume (Werner)

• Kategorien (Laures/Szymik)

• Filter (Laures/Szymik)

• Algebraic Topology (Runde)

Topology is the theory of topological spaces, i.e. structures between which continuous maps are definable.

In generalization of the geometry with rigid transformations, two geometric objects are topologically equivalent, if there exist bijective continuous maps between them.

A large class of topological spaces are the metric spaces in analysis. However, there is a need of non metrizable spaces (eg. the space of test functions for distributions or the weak topologies in functional analysis). This is the theme of set-theoretic topology.

In order to classify them, algebraic topology associates groups to topological spaces.

Thus, abstract topological concepts play a fundamental role in various fields of mathematics. These concepts will be introduced and explained, with an emphasis on set-theoretic topology (convergence, compactness, connectedness, separation properties).

On request the lecture will be held in English. Parts of "A Taste of Topology" by V. Runde will serve as reference.

Supplements (not to be examined):

• Elementare geometrische Topologie (Arnold)

• Lokal konvexe Raeume (Werner)

• Kategorien (Laures/Szymik)

• Filter (Laures/Szymik)

• Algebraic Topology (Runde)